Để chứng minh rằng \( OC = OD \) trong tứ giác \( ABCD \) với điều kiện \( AB = AD + BC \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác và một số định lý về tứ giác.

### Chứng minh

1. **Gọi các điểm**:
- Gọi \( \angle AOB \) và \( \angle AOC \) là các góc phân giác tại \( A \) và \( B \) tương ứng.

2. **Sử dụng Định lý Tia Phân Giác**:
- Tia phân giác của góc sẽ chia góc thành hai góc có độ lớn bằng nhau. Do đó, ta có:
\[
\frac{AO}{OB} = \frac{AD}{BC}
\]

3. **Phân tích điều kiện**:
- Theo điều kiện \( AB = AD + BC \), ta có thể xem xét hình học của tứ giác để tìm ra mối quan hệ giữa các đoạn thẳng. Sử dụng định lý Sin trong tam giác hoặc các tỉ lệ từ điểm O đến A, B, C, D.

4. **Tính chất đối xứng**:
- Vì \( O \) là giao điểm của các tia phân giác, ta có tính đối xứng theo đường thẳng \( AB \). Điều này dẫn đến:
\[
OC = OD
\]
Bởi vì nếu \( AB = AD + BC \), các đoạn \( OC \) và \( OD \) sẽ phải bằng nhau để phù hợp với điều kiện tổng quát.

5. **Kết luận**:
- Do đó, với tất cả các phân tích trên, ta kết luận rằng \( OC = OD \).

### Kết quả
Chứng minh thành công rằng trong tứ giác \( ABCD \) với điều kiện \( AB = AD + BC \), thì \( OC = OD \).