Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng phần:

### a) Chứng minh: \( AC = BC \) và \( \angle AOC = \angle BOC \)

1. **Định nghĩa điểm:**
- Cho \(\angle XOY = \angle O1 \) là góc nhọn với \( O2 \) là tia phân giác của góc \( O \).
- Điểm A nằm trên tia Ox và điểm B nằm trên tia Oy sao cho \( OA = OB \).

2. **Xét tam giác OAC và OBC:**
- \( AC \) và \( BC \) là hai đoạn thẳng từ điểm C đến A và B.
- Theo định nghĩa, \( OA = OB \).
- Tia phân giác \( O2 \) cho ta \( \angle AOC = \angle BOC \).

3. **Áp dụng định lý định danh:**
- Trong tam giác OAC và OBC, ta có:
- \( OA = OB \) (giả thiết)
- \( \angle AOC = \angle BOC \) (do O2 là tia phân giác)
- Do đó, theo định lý định danh, ta có \( AC = BC \).

### b) Chứng minh: \( AB \perp O2 \)

1. **Căn cứ vào quy tắc tuyến tính:**
- Tia phân giác \( O2 \) chia góc \( XOY \) thành hai góc bằng nhau.
- Bởi vì \( OA = OB \) và \( AC = BC \), ta cũng có góc \( OAB = OBA \) (do A và B nằm trên tia Ox và Oy).

2. **Tình huống 90 độ:**
- Trong trường hợp này, tam giác OAB sẽ là tam giác vuông tại O (vì A và B trên các tia vuông góc).
- Do đó, \( AB \) vuông góc với tia phân giác \( O2 \).

Kết luận, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.