Chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức một như sau:

### 1) Rút gọn biểu thức \( ( x^2 + 4y^2 ) ( x + 2y ) ( x - 2y ) \)

Đầu tiên, hãy chú ý rằng \( ( x + 2y )( x - 2y ) \) là một hình thức của công thức tích của hai khai triển, cụ thể là:
\[
(x + 2y)(x - 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2
\]

Do đó, biểu thức có thể được viết lại như sau:
\[
( x^2 + 4y^2 )( x^2 - 4y^2 )
\]

Biểu thức này có thể sử dụng công thức tích của hai hiệu:
\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
với \( a = x^2 \) và \( b = 4y^2 \):
\[
(x^2)^2 - (4y^2)^2 = x^4 - 16y^4
\]

Vậy kết quả rút gọn được là:
\[
x^4 - 16y^4
\]

### 2) Rút gọn biểu thức \( ( x -1 )( x +1 )( x^2 + 1 )( x^4 + 1 ) \)

Bước đầu tiên là nhận thấy rằng \( (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \). Vì vậy, chúng ta có:
\[
(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)
\]

Tiếp theo, biểu thức \( (x^2 - 1)(x^2 + 1) \) là:
\[
(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - 1
\]

Vì vậy, chúng ta có:
\[
(x^4 - 1)(x^4 + 1)
\]

Cuối cùng, sử dụng công thức tích của hai hiệu một lần nữa:
\[
(x^4)^2 - (1)^2 = x^8 - 1
\]

Kết quả rút gọn được là:
\[
x^8 - 1
\]

### 3) Rút gọn biểu thức \( ( a - 2b )^3 + 6ab ( a - 2b ) \)

Ta có thể đặt \( (a - 2b) \) ra ngoài như một yếu tố chung:
\[
(a - 2b) \left( (a - 2b)^2 + 6ab \right)
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ mở rộng \( (a - 2b)^2 \):
\[
(a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2
\]
Vậy ta có:
\[
(a - 2b)^2 + 6ab = a^2 - 4ab + 4b^2 + 6ab = a^2 + 2ab + 4b^2
\]

Rút gọn được thành:
\[
(a - 2b) ( a^2 + 2ab + 4b^2 )
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)
\]

### Tóm lại:

1) \( x^4 - 16y^4 \)

2) \( x^8 - 1 \)

3) \( (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) \)