Để giải bài toán liên quan đến tam giác ABC và các đường dựng trong đề bài, ta sẽ thực hiện theo từng phần:

**a) Chứng minh \( BM = AQ \)**

1. **Chú ý các tam giác:**
- Tam giác \( AIB \) có \( AI \) là đường cao.
- Từ \( A \) kẻ đường \( Ax \) vuông góc với \( AC \) (tức là \( Ax \) là đường thẳng đi qua \( A \) và vuông góc với \( AC \)).
- Từ \( B \) kẻ đường \( BI \) song song với \( AC \).

2. **Quan sát điểm M:**
- Vì \( Ax \) vuông góc với \( AC \) và \( BI \) song song với \( AC \), nên ta có \( AM \) vuông góc với \( AC \) và \( BM \) cũng vuông góc với \( AC \).
- Điều này cho thấy \( \triangle AMQ \sim \triangle BMP \) (do góc vuông và cùng góc \( ABM \)).

3. **Sử dụng tỉ lệ:**
- \( \frac{AM}{BM} = \frac{AQ}{MP} \).
- Nhưng \( M \) là giao điểm của \( Ax \) và \( BI \), dẫn đến các tỉ lệ bằng nhau từ các tính chất hình học của tam giác.
- Suy ra chiều dài \( BM = AQ \) từ đó.

**b) Hình dạng của tứ giác \( AMPQ \)**

- Ta biết rằng:
- \( M \) là giao điểm của \( Ax \) và \( BI \).
- \( P \) là trung điểm của \( AB \).
- Dễ dàng nhận thấy \( MP \) và \( AQ \) song song do tính chất của các cạnh.

- Gọi \( H \) là giao điểm của \( PQ \) với \( AI \). Do \( AQ \) và \( MP \) song song với \( AC \), tứ giác \( AMPQ \) là hình chữ nhật.

**c) Chứng minh \( CH \perp AB \)**

1. **Xác định điểm H:**
- \( H \) là giao điểm của \( PQ \) và phần kéo dài của \( AI \) (đường cao từ \( A \) đến \( BC \)).

2. **Chú ý tính chất vuông góc:**
- Do \( AI \) là đường cao, \( AI \perp BC \) và \( Q \) nằm trên \( AC \), từ đó suy ra \( AC \) vuông góc với \( BC \).
- Vậy, mình có \( H \) cũng nằm trên đường thẳng \( AI \).

3. **Kết luận:**
- Do \( AI \perp BC \), nên \( CH \perp AB \).

**d) Chứng minh tam giác \( IPQ \) là tam giác cân**

1. **Điều kiện để \( IPQ \) là tam giác cân:**
- Cần chứng minh \( IP = IQ \).

2. **Xem xét khoảng cách:**
- Từ tính chất tứ giác \( AMPQ \) (là hình chữ nhật) ta có:
- \( AP = PM \) và \( AQ = MQ \).

3. **Sử dụng bất đẳng thức:**
- Bởi \( M \) nằm trên cạnh \( AB \), và do \( AQ = BM \) ta thấy \( IP = IQ \), điều này đảm bảo rằng tam giác \( IPQ \) đều cân bằng.

4. **Kết luận:**
- Vậy tam giác \( IPQ \) là tam giác cân do \( IP = IQ \).

Hy vọng phần giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu và hoàn thiện bài toán. Chúc bạn làm bài tốt!