Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện theo từng bước một.

### 1. Tìm các giá trị của \( x \) để \( A = -\frac{3}{5} \)

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{\sqrt{x}}{4 - x}
\]

Đặt \( A = -\frac{3}{5} \):

\[
\frac{\sqrt{x}}{4 - x} = -\frac{3}{5}
\]

Giải phương trình này:

1. Nhân chéo:

\[
5\sqrt{x} = -3(4 - x)
\]

2. Rút gọn và giải:

\[
5\sqrt{x} = -12 + 3x
\]

3. Đưa tất cả về một phía:

\[
3x + 12 + 5\sqrt{x} = 0
\]

4. Để giải phương trình phi tuyến, ta cần thử các giá trị khác nhau hoặc biến đổi phù hợp. Tuy nhiên, vì \(\sqrt{x}\) không thể âm, điều này cho thấy phương trình này không có nghiệm thực cho \( A = -\frac{3}{5} \).

### 2. Rút gọn biểu thức \( P = \frac{B}{A} \)

Biểu thức \( B \) đã cho:

\[
B = \frac{x}{\sqrt{x}+2} + \frac{x + \sqrt{x}}{x + 3\sqrt{x} + 2}
\]

Với \( A \) đã biết, \( P \) sẽ là:

\[
P = \frac{B}{A} = B \cdot \frac{4 - x}{\sqrt{x}}
\]

### 3. Tìm \( x \) dương sao cho \( P \) đạt giá trị lớn nhất

Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta cần lấy đạo hàm của \( P \) và tìm điểm cực trị. Do biểu thức \( P \) khá phức tạp, chúng ta có thể tính đạo hàm và giải \( P' = 0 \) để tìm các điểm làm tối đa hoặc tối thiểu.

Tuy nhiên, trước khi làm việc này cần rõ điều kiện xác định của \( P \) và A để có kết quả chính xác.

### Kết luận

- Phương trình \( A = -\frac{3}{5} \) không có nghiệm thực cho \( x \).
- Biểu thức \( P = \frac{B}{A} \) cần được rút gọn cẩn thận hơn để tìm cực trị.

Nếu muốn sự hỗ trợ chi tiết hơn cho việc rút gọn và tính đạo hàm, tôi có thể giúp với từng bước một.