Chúng ta sẽ chứng minh hai bất đẳng thức như sau:

### Phần a:

Cho \( a, b, c > 0 \) thỏa mãn \( a + b + c = 3 \). Ta cần chứng minh rằng:

\[
abc(a^2 + b^2 + c^2) \leq 3
\]

Đầu tiên, từ điều kiện \( a + b + c = 3 \), chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2
\]

Từ đó suy ra:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3} = \frac{9}{3} = 3
\]

Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số \( a, b, c \):

\[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \implies 1 \geq \sqrt[3]{abc} \implies abc \leq 1
\]

Chúng ta có thể xét \( abc(a^2 + b^2 + c^2) \) như sau:

\[
abc(a^2 + b^2 + c^2) \leq abc \cdot \frac{(a + b + c)^2}{3} = abc \cdot 3
\]

Do \( abc \leq 1 \), ta có:

\[
abc \cdot 3 \leq 1 \cdot 3 = 3
\]

Như vậy, \( abc(a^2 + b^2 + c^2) \leq 3 \) đã được chứng minh.

### Phần b:

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq a^2 + b^2 + c^2
\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq \frac{9}{a^2 + b^2 + c^2}
\]

Gọi \( S = a^2 + b^2 + c^2 \). Từ bất đẳng thức \( S \geq 3 \), suy ra \( \frac{9}{S} \leq 3 \). Do đó,

\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq \frac{9}{3} = 3
\]

Ta đã chứng minh \( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq a^2 + b^2 + c^2 \).

Vậy cả hai bất đẳng thức đã được chứng minh.