Chúng ta sẽ giải các phần của bài toán này:

### a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) với mọi \( m \)

Phương trình đã cho là:

\[
x^2 + 2(m-1)x - 2m - 3 = 0
\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, chúng ta cần kiểm tra điều kiện của deltá (\( \Delta \)):

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = 2(m-1) \), và \( c = -2m - 3 \). Tính toán deltá:

\[
\Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2m - 3)
\]
\[
= 4(m-1)^2 + 8m + 12
\]
\[
= 4(m^2 - 2m + 1 + 2m + 3)
\]
\[
= 4(m^2 + 4)
\]

Vì \( m^2 + 4 > 0 \) với mọi \( m \), nên:

\(\Delta > 0\)

=> Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) với mọi giá trị của \( m \).

### b) Tìm giá trị của \( m \) sao cho \( (4x_1 + 5)(4x_2 + 5) + 19 = 0 \)

Ta sử dụng công thức tính tích của hai nghiệm:

\[
P = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2(m-1)}{1} = -2(m - 1) = 2 - 2m
\]

\[
Q = x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -2m - 3
\]

Chuyển đổi biểu thức:

\[
(4x_1 + 5)(4x_2 + 5) = 16x_1 x_2 + 20(x_1 + x_2) + 25
\]

Thay vào:

\[
= 16(-2m - 3) + 20(2 - 2m) + 25
\]

Giải phương trình này:

\[
= -32m - 48 + 40 - 40m + 25
\]
\[
= -72m + 17
\]

Giờ chúng ta cần giải phương trình:

\[
-72m + 17 + 19 = 0
\]
\[
-72m + 36 = 0
\]
\[
-72m = -36
\]
\[
m = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}
\]

### Kết quả

a) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \( m \).

b) Giá trị của \( m \) sao cho \( (4x_1 + 5)(4x_2 + 5) + 19 = 0 \) là \( m = \frac{1}{2} \).