Để giải bài toán, chúng ta có thể sử dụng công thức về diện tích tam giác cũng như các thuộc tính của tam giác.

1. **Tính chiều cao \(CH\) và cạnh \(AC\)**:

- Sử dụng định lý sin để tìm cạnh \(AC\):
\[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
\]
Trong đó:
- \(BC = 6 \text{ cm}\)
- \(B = 60^\circ\)
- \(C = 40^\circ\)
- \(A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ\)

Áp dụng vào công thức:
\[
\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\sin 80^\circ}
\]
Từ đó:
\[
AC = 6 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}
\]

- Tính \(CH\) qua công thức diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CH
\]
Diện tích cũng có thể tính thông qua công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH
\]
Ở đây \(BH\) là chiều cao từ \(B\) xuống \(AC\).

2. **Tính diện tích tam giác \(ABC\)**:
Sử dụng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C
\]
Trong đó \(a = AC\), \(b = BC = 6\), \(C = 40^\circ\):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 6 \cdot \sin 40^\circ
\]

Kết luận:

1. **Tính \(AC\)** từ công thức.
2. **Tính chiều cao \(CH\)** từ diện tích.
3. **Diện tích \(S\)** qua công thức trên.