Để tính toán biểu thức \( \frac{4^{10} \cdot 5^{20}}{75^{15}} \), trước tiên ta có thể đơn giản hóa từng phần trong biểu thức.

1. **Phân tích \( 75 \)**:
\[
75 = 3 \cdot 5^2
\]
Do đó:
\[
75^{15} = (3 \cdot 5^2)^{15} = 3^{15} \cdot 5^{30}
\]

2. **Biểu thức gốc**:
Ta thay thế \( 75^{15} \) vào biểu thức:
\[
\frac{4^{10} \cdot 5^{20}}{75^{15}} = \frac{4^{10} \cdot 5^{20}}{3^{15} \cdot 5^{30}}
\]

3. **Rút gọn**:
Kết hợp các số ở mẫu:
\[
= \frac{4^{10}}{3^{15} \cdot 5^{30 - 20}} = \frac{4^{10}}{3^{15} \cdot 5^{10}}
\]

4. **Biểu thức tiếp theo**:
Ta có thể thay \( 4 \) thành \( 2^2 \):
\[
4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}
\]
Do đó:
\[
\frac{2^{20}}{3^{15} \cdot 5^{10}}
\]

5. **Kết quả**:
Vậy biểu thức cuối cùng là:
\[
\frac{2^{20}}{3^{15} \cdot 5^{10}}
\]

Biểu thức đã được đơn giản hóa, tuy nhiên không có giá trị cụ thể nếu không có giá trị số cho các toán tử nữa. Nếu bạn cần giá trị số cụ thể, bạn có thể tính bằng máy tính. Hãy cho tôi biết nếu bạn cần thêm sự trợ giúp!