Chứng minh rằng |x - 2| + |x - 5| >= 3

Để chứng minh bất đẳng thức \(|x - 2| + |x - 5| \geq 3\), ta sẽ phân tích các trường hợp dựa trên giá trị của \(x\).

### Bước 1: Phân tích các trường hợp

Có ba điểm quan trọng cần xem xét là \(x = 2\) và \(x = 5\). Do đó, ta sẽ xem xét ba khoảng:

1. **Trường hợp 1**: \(x < 2\)
2. **Trường hợp 2**: \(2 \leq x < 5\)
3. **Trường hợp 3**: \(x \geq 5\)

### Trường hợp 1: \(x < 2\)

Khi \(x < 2\), ta có:
\[
|x - 2| = 2 - x, \quad |x - 5| = 5 - x
\]
Vậy ta có:
\[
|x - 2| + |x - 5| = (2 - x) + (5 - x) = 7 - 2x
\]
Xét bất đẳng thức:
\[
7 - 2x \geq 3
\]
Suy ra:
\[
7 - 3 \geq 2x \quad \Rightarrow \quad 4 \geq 2x \quad \Rightarrow \quad 2 \geq x
\]
Điều này đúng với \(x < 2\).

### Trường hợp 2: \(2 \leq x < 5\)

Khi \(2 \leq x < 5\), ta có:
\[
|x - 2| = x - 2, \quad |x - 5| = 5 - x
\]
Vậy ta có:
\[
|x - 2| + |x - 5| = (x - 2) + (5 - x) = 3
\]
=> Ở khoảng này, \(|x - 2| + |x - 5| = 3\), do đó điều này cũng thoả mãn bất đẳng thức.

### Trường hợp 3: \(x \geq 5\)

Khi \(x \geq 5\), ta có:
\[
|x - 2| = x - 2, \quad |x - 5| = x - 5
\]
Vậy ta có:
\[
|x - 2| + |x - 5| = (x - 2) + (x - 5) = 2x - 7
\]
Xét bất đẳng thức:
\[
2x - 7 \geq 3
\]
Suy ra:
\[
2x \geq 10 \quad \Rightarrow \quad x \geq 5
\]
Điều này cũng đúng với \(x \geq 5\).

### Kết luận

Chúng ta đã xét cả ba trường hợp và thấy rằng:
- Với \(x < 2\): \(|x - 2| + |x - 5| \geq 3\).
- Với \(2 \leq x < 5\): \(|x - 2| + |x - 5| = 3\).
- Với \(x \geq 5\): \(|x - 2| + |x - 5| \geq 3\).

Do đó, bất đẳng thức \(|x - 2| + |x - 5| \geq 3\) luôn đúng với mọi giá trị của \(x\).