Để chứng minh rằng \( M < \frac{2}{3} \), ta bắt đầu với biểu thức của \( M \):

\[
M = \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + \ldots + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \ldots + 59}.
\]

Trước tiên, ta tính tổng \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n \):

\[
1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.
\]

Vậy ta có thể viết lại các phần tử trong \( M \):

\[
M = \frac{1}{\frac{3 \cdot 4}{2}} + \frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{2}} + \ldots + \frac{1}{\frac{59 \cdot 60}{2}}.
\]

Rút gọn các phân số:

\[
M = \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{2}{59 \cdot 60}.
\]

Ta có thể nhân mỗi phần tử lên với 2 và viết:

\[
M = 2 \left( \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{59 \cdot 60} \right).
\]

Sử dụng công thức tổng phân số, ta có:

\[
\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}.
\]

Áp dụng công thức này vào biểu thức của \( M \):

\[
M = 2 \left( \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{59} - \frac{1}{60}\right) \right).
\]

Nhìn vào biểu thức, ta thấy rằng đây là một chuỗi thu gọn, và hầu hết các phần tử sẽ bị triệt tiêu:

\[
M = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{60} \right).
\]

Tính toán phần còn lại:

\[
M = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{60} \right) = 2 \left( \frac{20}{60} - \frac{1}{60} \right) = 2 \left( \frac{19}{60} \right) = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}.
\]

Cuối cùng, ta cần chứng minh rằng \( M < \frac{2}{3} \):

So sánh \( \frac{19}{30} \) với \( \frac{2}{3} \):

\[
\frac{2}{3} = \frac{20}{30}.
\]

Rõ ràng,

\[
\frac{19}{30} < \frac{20}{30} \implies M < \frac{2}{3}.
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( M < \frac{2}{3} \).