Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{3x}{x-1} - \frac{2}{y+2} = 4 \quad (1) \\
\frac{2x}{x-1} + \frac{1}{y+2} = 5 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta sẽ biến đổi các phương trình này.

**Bước 1**: Đặt \( t = \frac{1}{y + 2} \) và \( s = \frac{x}{x - 1} \). Khi đó, phương trình có thể viết lại như sau:

\[
\begin{cases}
3s - 2t = 4 \quad (1') \\
2s + t = 5 \quad (2')
\end{cases}
\]

**Bước 2**: Giải hệ phương trình (1') và (2').

Từ (2'):

\[
t = 5 - 2s
\]

**Bước 3**: Thay \( t \) vào (1'):

\[
3s - 2(5 - 2s) = 4
\]
\[
3s - 10 + 4s = 4
\]
\[
7s = 14 \implies s = 2
\]

**Bước 4**: Thay \( s \) vào (2') để tìm \( t \):

\[
2(2) + t = 5 \implies 4 + t = 5 \implies t = 1
\]

**Bước 5**: Quay lại với các biến \( s \) và \( t \):

- Từ \( s = \frac{x}{x-1} \) ta có:

\[
2 = \frac{x}{x-1} \implies 2(x-1) = x \implies 2x - 2 = x \implies x = 2
\]

- Từ \( t = \frac{1}{y + 2} \):

\[
1 = \frac{1}{y + 2} \implies y + 2 = 1 \implies y = -1
\]

**Kết luận**: Giải của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (2, -1)
\]