Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SB, SC sao cho SM/ SB=2/3. SN/SC=1/2

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SBD)

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Xét hệ trục tọa độ trong không gian với O là gốc tọa độ.
- Giả sử các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là:
- \( A(a, b, 0) \)
- \( B(c, b, 0) \)
- \( C(c, d, 0) \)
- \( D(a, d, 0) \)
- \( S(0, 0, h) \) (với h là chiều cao của hình chóp)

2. **Xác định tọa độ của M và N**:
- Từ điều kiện \( \frac{SM}{SB} = \frac{2}{3} \):
\[ M = \frac{1}{3}S + \frac{2}{3}B = \frac{1}{3}(0, 0, h) + \frac{2}{3}(c, b, 0) = \left(\frac{2c}{3}, \frac{2b}{3}, \frac{h}{3}\right) \]

- Từ điều kiện \( \frac{SN}{SC} = \frac{1}{2} \):
\[ N = \frac{1}{2}S + \frac{1}{2}C = \frac{1}{2}(0, 0, h) + \frac{1}{2}(c, d, 0) = \left(\frac{c}{2}, \frac{d}{2}, \frac{h}{2}\right) \]

3. **Viết phương trình mặt phẳng (AMN)**:
- Vector AB:
\[ \overrightarrow{AM} = M - A = \left(\frac{2c}{3} - a, \frac{2b}{3} - b, \frac{h}{3} - 0\right) \]

- Vector AN:
\[ \overrightarrow{AN} = N - A = \left(\frac{c}{2} - a, \frac{d}{2} - b, \frac{h}{2} - 0\right) \]

- Tọa độ giao điểm P của SD và mặt phẳng (AMN) dựa trên phương trình mặt phẳng.

4. **Phương trình mặt phẳng (SBD)**:
- Xét 3 điểm S, B, D để lập phương trình mặt phẳng (SBD).

5. **Giao tuyến của hai mặt phẳng**:
Tìm điểm giao P của hai mặt phẳng này bằng cách giải hệ phương trình đồng thời được tạo bởi các phương trình mặt phẳng (AMN) và (SBD).

### b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (AMN)

Thiết diện được tạo nên từ giao của mặt phẳng (AMN) với các cạnh của hình chóp S.ABCD.

1. **Tính toán giao điểm**:
- Bạn sẽ phải xác định các điểm giao nhau giữa mặt phẳng cắt (AMN) và các cạnh của hình chóp.
- Cụ thể là tìm điểm giao của mặt phẳng (AMN) với các cạnh SA, SB, SC và SD.

2. **Liệt kê các điểm**:
- Các giao điểm này sẽ là phần xác định thiết diện của hình chóp. Từ những điểm này, bạn sẽ có được các đỉnh của thiết diện.

3. **Diện tích thiết diện**:
- Cuối cùng, có thể cần tính toán diện tích thiết diện nếu cần thiết bằng cách sử dụng công thức tính diện tích cho hình thành (tùy thuộc vào vị trí các điểm giao nhau).

### Lưu ý:

Để có được kết quả chính xác, bạn cần làm rõ hơn về tọa độ các điểm, tính chất các mặt phẳng, và hoàn tất cách xác định thiết diện dựa trên điểm giao.