Để chứng minh các tính chất của hình thang và tam giác, chúng ta có thể đi theo các bước sau:

### a) Chứng minh: \( BH = CK \)

1. Gọi \( O \) là giao điểm của các đường thẳng \( AH \) và \( CE \).
2. Vì \( BD = CE \) và \( BH \) vuông góc với \( AD \), nên chúng ta có các tam giác vuông:
- Tam giác \( ABH \) với cạnh vuông \( BH \).
- Tam giác \( ACE \) với cạnh vuông \( CK \).
3. Do tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) và trên các tia đối của \( BC \) và \( CB \), thì \( AB = AC \).
4. Chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông này:
- Trong tam giác \( ABH \): \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)
- Trong tam giác \( ACK \): \( AC^2 = AK^2 + CK^2 \)
5. Do đó, từ đó suy ra \( BH = CK \) bởi vì cả hai cạnh vuông đó còn có thể liên hệ với chiều dài của hai đoạn đường từ điểm \( A \) đến các điểm tương ứng của \( H \) và \( K \).

### b) Chứng minh: \( \Delta ABH = \Delta ACK \)

1. Từ phần chứng minh trên, chúng ta đã thiết lập rằng \( BH = CK \).
2. Xét các cạnh còn lại:
- Ta biết rằng trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \): \( AB = AC \).
- Các đường thẳng \( AH \) và \( AK \) làm cho hai tam giác đó cùng chiều cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
3. Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường thẳng \( BH \) và \( CK \).
4. Từ tính chất của các tam giác vuông:
- \( \angle ABH = \angle ACK \) (các góc vuông).
5. Vậy từ tất cả các điều đã nói trên, ta có:
- \( \Delta ABH \) và \( \Delta ACK \) có:
- \( AB = AC \)
- \( BH = CK \)
- \( \angle ABH = \angle ACK \)

Từ đó suy ra rằng \( \Delta ABH \cong \Delta ACK \) theo tiêu chí cạnh - cạnh - góc (CCG).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng \( BH = CK \) và \( \Delta ABH = \Delta ACK \) thông qua các tính chất của tam giác cân và các định lý cơ bản của hình học.