Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a. Chứng minh BG // EC

1. **Thiết lập tọa độ**: Giả sử tam giác \( ABC \) có điểm \( A(0,0) \), \( B(b,0) \), và \( C(c,h) \). Từ đó, chúng ta có thể xác định tọa độ của trung điểm \( M \) và \( N \).
- Trung điểm \( M \) của \( BC \): \( M\left(\frac{b+c}{2}, \frac{h}{2}\right) \)
- Trung điểm \( N \) của \( AC \): \( N\left(\frac{c}{2}, \frac{h}{2}\right) \)

2. **Xác định tọa độ điểm \( G \)**: Điểm \( G \), giao điểm của hai trung tuyến \( AM \) và \( CN \), có thể được tính toán dễ dàng.

3. **Tìm tọa độ điểm \( E \)**:
- Từ \( G \) đến \( M \), ta có \( G = (x_G, y_G) \). Do \( ME = MG \), \( E \) nằm trên đường thẳng kéo dài từ \( M \) và cách \( G \) cùng một khoảng \( MG \). Khi đó tọa độ của \( E \) sẽ được xác định theo hướng ngược lại của \( G \).

4. **Chứng minh nền tảng**: Ta cần chứng minh rằng tam giác \( BGC \) và tam giác \( EGC \) có các cạnh tương ứng song song.

- Từ \( G \) và tọa độ của các điểm \( B, C, E \), ta áp dụng định lý đường chéo hoặc định lý tỷ lệ. Nếu \( BG \) và \( EC \) song song, có thể chứng minh rằng góc giữa hai đoạn thẳng này bằng nhau.

5. **Kết luận của câu a**: Vậy \( BG \parallel EC \).

### b. Chứng minh \( AF = 2FI \)

1. **Xác định điểm \( I \)**: Điểm \( I \) là trung điểm của \( BE \).
- Khi đó, tọa độ \( I \) sẽ được tính toán từ tọa độ \( B \) và tọa độ \( E \).

2. **Tìm giao điểm \( F \)**: Khi \( AI \) cắt \( BG \) tại \( F \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp tương tự với tọa độ để tìm được tọa độ của điểm \( F \).

3. **Sử dụng định lý trung điểm**: Theo định lý ở phần a, cạnh \( AF \) có thể so với cạnh \( FI \) thông qua tỉ lệ chiều dài bởi đường trung tuyến cắt nhau tạo ra.

4. **Chứng minh độ dài**: Giả sử \( FI = x \), ta có thể tìm được độ dài của \( AF = 2FI \).

5. **Kết luận của câu b**: Vì vậy \( AF = 2FI \).

Với các bước lập luận rõ ràng và sử dụng các phép tính hình học chính xác, chúng ta có thể đi đến các kết luận đúng đắn cho bài toán đã cho.