Cho tam giác ABC điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM=1/3BC, điểm N thuộc cạnh AC sao cho AN=1/4AC, K là trung điểm AM

Để chứng minh rằng \( BK \) và \( BN \) cùng phương, ta sẽ thực hiện các bước phân tích vector như sau:

### a. Phân tích \( BK \) theo \( BA \) và \( BC \)

Gọi \( B \) là điểm có tọa độ \((0, 0)\), \( C \) là điểm có tọa độ \((c, 0)\), và \( A \) là điểm có tọa độ \((a, b)\).

1. **Xác định tọa độ của \( M \)**:
\( M \) nằm trên \( BC \) với \( BM = \frac{1}{3}BC \).

Vì \( BC = c \), ta có \( BM = \frac{1}{3}c \). Do đó:
\[
M = \left(\frac{1}{3}c, 0\right)
\]

2. **Xác định tọa độ của \( N \)**:
\( N \) nằm trên \( AC \) với \( AN = \frac{1}{4}AC \).

Ta tính \( AC \):
\[
AC = \sqrt{(a - c)^2 + (b - 0)^2}
\]
Do đó, \( AN = \frac{1}{4}AC \) sẽ xác định điểm \( N \) nằm giữa đường thẳng từ \( A \) đến \( C \).

Tọa độ của \( N \) sẽ được tính bằng phép nội suy:
\[
N = \left(a + \frac{1}{4}(c - a), b\right) = \left(\frac{3a + c}{4}, b \cdot \frac{3}{4}\right)
\]

3. **Xác định tọa độ của \( K \)**:
\( K \) là trung điểm của \( A \) và \( M \):
\[
K = \left(\frac{a + \frac{1}{3}c}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

4. **Xác định vector \( BK \)**:
\[
BK = K - B = \left(\frac{a + \frac{1}{3}c}{2}, \frac{b}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{a + \frac{1}{3}c}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

### b. Phân tích \( BN \) theo \( BA \) và \( BC \)

1. **Xác định vector \( BN \)**:
\[
BN = N - B = \left(\frac{3a + c}{4}, \frac{3b}{4}\right) - (0, 0) = \left(\frac{3a + c}{4}, \frac{3b}{4}\right)
\]

### Chứng minh rằng \( BK \) và \( BN \) cùng phương

Hai vector \( BK \) và \( BN \) sẽ cùng phương nếu tồn tại một số \( k \) sao cho:

\[
BK = k \cdot BN
\]

Tương đương với việc:

\[
\left(\frac{a + \frac{1}{3}c}{2}, \frac{b}{2}\right) = k \cdot \left(\frac{3a + c}{4}, \frac{3b}{4}\right)
\]

Từ đây, ta sẽ có hai phương trình:

1. Từ toạ độ x:
\[
\frac{a + \frac{1}{3}c}{2} = k \cdot \frac{3a + c}{4}
\]

2. Từ toạ độ y:
\[
\frac{b}{2} = k \cdot \frac{3b}{4}
\]

Giải phương trình y cho \( k \):
\[
k = \frac{2}{3}
\]

Thay \( k \) vào phương trình x, ta có:
\[
\frac{a + \frac{1}{3}c}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3a + c}{4}
\]

Khi giải phương trình này, ta sẽ chứng minh được rằng hai vector tỷ lệ với nhau, từ đó có thể kết luận rằng \( BK \) và \( BN \) cùng phương.

Điều này chứng minh rằng \( B, K, N \) thẳng hàng.