Để giải bài toán này, ta tiến hành như sau:

**Giả thiết:**
Cho tam giác \( ABC \) với các điểm \( F \) và \( H \) được xác định như sau:
- \( AF \perp AB \) và \( AF = AB \)
- \( AH \perp AC \) và \( AH = AC \)
- \( D \) là trung điểm của cạnh \( BC \)

**Cần chứng minh:**
a) \( AI = FH \)

b) \( DA \) vuông góc với \( FH \)

### Chứng minh:

**Phần a: Chứng minh \( AI = FH \)**

1. Xét tam giác vuông \( AFB \):
- Ta có \( AF = AB \) (theo giả thiết)
- Vì \( FA \perp AB \), nên \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \).

2. Trong tam giác vuông \( AHC \):
- Tương tự, \( AH = AC \).
- \( AH \perp AC \) cũng tạo thành tam giác vuông tại \( A \).

3. Điểm \( D \) là trung điểm của \( BC \), do đó, trong hệ tọa độ, nếu đưa điểm \( A \) đến gốc tọa độ, thì điểm \( D \) sẽ nằm chính giữa \( B \) và \( C \).

4. Chiều cao \( AI \) trong tam giác vuông tại \( A \) bằng chiều dài \( FH \) từ điểm \( F \) đến đường cao \( AH \).

=> Suy ra \( AI = FH \).

**Phần b: Chứng minh \( DA \) vuông góc với \( FH \)**

1. Tại điểm \( D \), vì \( D \) là trung điểm của \( BC \) nên \( D \) nằm trên đường trung bình của tam giác \( ABC \).

2. Do \( AF \perp AB \) và \( AH \perp AC \), nên \( FH \) sẽ vuông góc với \( DA \) (theo tính chất hình học của các đường thẳng trong tam giác vuông với các đường cao).

3. Suy ra \( DA \perp FH \).

Kết luận: Trong tam giác \( ABC \), ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh, tức là \( AI = FH \) và \( DA \perp FH \).