Để tính tổng \( 2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 20^2 \), chúng ta có thể nhận thấy rằng các số trong tổng này là các bội số của 2 từ 2 đến 20.

Tổng có thể được viết lại như sau:

\[
2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 20^2 = (2 \cdot 1)^2 + (2 \cdot 2)^2 + (2 \cdot 3)^2 + \ldots + (2 \cdot 10)^2
\]

Hay viết thành:

\[
= 2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2)
\]

Chúng ta đã biết rằng \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2 = 385 \). Thay vào công thức trên, ta có:

\[
= 2^2 \cdot 385 = 4 \cdot 385 = 1540
\]

Vậy giá trị cần tính là:

\[
\boxed{1540}
\]