Để chứng minh tứ giác BEGF là hình bình hành, ta sẽ sử dụng yếu tố các cạnh đối bằng nhau.

1. **Gọi các điểm**:
- Đặt F là trung điểm của cạnh AC (do BF là trung tuyến).
- Đặt E là trung điểm của cạnh BC (do BE là trung tuyến).
- Đặt D là trung điểm của cạnh AB (do AD là trung tuyến).

2. **Phân tích các đoạn thẳng**:
- Do F là trung điểm của AC, nên AF = FC.
- Do E là trung điểm của BC, nên BE = EC.
- Do D là trung điểm của AB, nên AD = DB.

3. **Vị trí của điểm G**:
- Theo giả thiết, đường thẳng GF song song với BE.
- Khi hai đường thẳng song song, nếu một đường cắt hai đường còn lại, thì các đoạn thẳng tạo thành giữa các điểm đó sẽ bằng nhau.

4. **Cạnh đối bằng nhau**:
- Ta cần chứng minh rằng:
- BG = EF
- BE = FG

- Vì GF // BE, nên:
- Các đoạn FG và BE nằm trong cùng một vị trí do GF cắt DE kéo dài, cho nên FG = BE.

5. **Kết luận**:
- Ta có:
- BG = EF
- BE = FG
- Do đó, với hai cặp cạnh đối bằng nhau (BG = EF và BE = FG), ta kết luận rằng tứ giác BEGF là hình bình hành.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác BEGF là hình bình hành dựa trên yếu tố các cạnh đối bằng nhau.