Để chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành và sau đó là hình thoi, ta có thể thực hiện như sau:

### a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

1. **Định nghĩa hình bình hành**: Tứ giác là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện song song.

2. **Đặt giả thiết**:
- Đường thẳng \(d_1\) cắt cạnh \(AB\) và \(CD\) tại \(M\) và \(P\).
- Đường thẳng \(d_2\) cắt cạnh \(BC\) và \(DA\) tại \(N\) và \(Q\).
- Biết rằng \(d_1 \parallel d_2\).

3. **Kết luận**:
- Do \(d_1 \parallel d_2\) và \(M, P\) thuộc cạnh \(AB, CD\) nên \(MN \parallel PQ\).
- Tương tự, \(d_1\) và \(d_2\) là hai đường thẳng song song qua các cạnh của tứ giác (MNPQ).
- Vậy nên, tứ giác MNPQ là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

1. **Định nghĩa hình thoi**: Hình thoi là hình bình hành có tất cả các cạnh bằng nhau.

2. **Sử dụng tính chất của hình bình hành**:
- Từ giả thiết \(d_1 \perp d_2\), ta có thể thấy rằng tất cả các góc trong tứ giác đều bằng nhau.
- Do đó, tất cả các cạnh \(MN, NP, PQ, QM\) đều bằng nhau vì các đoạn thẳng cắt nhau ở các điểm thẳng đứng tạo ra các tam giác vuông giống nhau.

3. **Kết luận**:
- Vì tứ giác MNPQ vừa là hình bình hành vừa có tất cả các cạnh bằng nhau, nên tứ giác MNPQ là hình thoi.

### Kết luận:
Tứ giác MNPQ là hình bình hành và hình thoi.