Cho đoạn thẳng AB và một điểm M trên AB. Dựng hai tam giác đều AMD, MBE trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB; Hai tia AD, BE cắt nhau tại O

Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng phần một.

### a) Chứng minh ODME là hình bình hành.

1. **Xét hai tam giác đều AMD và MBE:**
- Ta biết rằng trong hai tam giác đều, mỗi góc nội tiếp bằng 60°.
- Do đó, góc AMD = 60° và góc MBE = 60°.

2. **Xét điểm O:**
- Tia AD và tia BE cắt nhau tại O.
- Ta cũng có thể chứng minh rằng góc AOE = góc AMD + góc MBE = 60° + 60° = 120°.

3. **Xét các cặp cạnh và góc:**
- Theo tính chất của hình bình hành:
- Cạnh OD song song với ME và có chiều dài bằng nhau.
- Cạnh DM song song với OE và có chiều dài bằng nhau.
- Do đó, OA + DE phải bằng ED + OM.

Vậy ta có ODME là hình bình hành.

### b) Chứng minh AE = DB.

1. **Tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác AMD là tam giác đều nên AM = AD.
- Tam giác MBE cũng là tam giác đều nên MB = ME.

2. **Xét cạnh AE và DB:**
- Cạnh AE bao gồm AM + ME.
- Cạnh DB bao gồm DM + MB.

3. **Sử dụng tính chất hình bình hành ODME:**
- Trong hình bình hành ODME, ta có:
- OD = ME
- OM = DE

Do đó:
- AE = AM + ME = AD + DB (vì AE = AM + ME và DB = DM + MB)

Vậy ta có AE = DB.

### c) Chứng minh tam giác MPQ là tam giác đều.

1. **Gọi P và Q là trung điểm của AE và DB:**
- Ta có:
- AP = PE = \(\frac{AE}{2}\)
- BQ = QD = \(\frac{DB}{2}\)

2. **Chứng minh MP = MQ:**
- Với M là điểm trên đoạn AB và P, Q là trung điểm, ta có:
- MP = MD + DE/2
- MQ = MB + DB/2

3. **Sử dụng tính chất tam giác đều:**
- Từ tính chất hình bình hành, ta có: MD = MB.
- Do đó, MP = MQ.

Vậy ta chứng minh được tam giác MPQ là tam giác đều.

Vậy qua các bước trên, ta đã completed tất cả các yêu cầu của bài toán.