Để tìm các số nguyên \( n \) sao cho \( 10n^2 + n - 10 \) chia hết cho \( n-1 \), ta sẽ xét biểu thức \( f(n) = 10n^2 + n - 10 \) và sử dụng phép chia số:

Ta cần tính \( f(n) \) tại \( n-1 \):

\[
f(1) = 10(1^2) + 1 - 10 = 10 + 1 - 10 = 1
\]

Tiếp theo, ta sẽ sử dụng định lý phần còn để chia \( f(n) \) cho \( n-1 \). Theo định lý phần còn của phép chia, chúng ta có:

\[
f(n) = (n-1)Q(n) + R
\]

trong đó \( R \) là phần còn. Để tìm phần còn này cho \( f(n) \) khi chia cho \( n-1 \), ta tính:

\[
f(1) = 10(1^2) + 1 - 10 = 1
\]

Như vậy, khi chia \( f(n) \) cho \( n-1 \), phần còn là \( 1 \). Để \( f(n) \) chia hết cho \( n-1 \), ta cần \( R \equiv 0 \), tức là:

\[
1 \equiv 0 \mod (n-1)
\]

Điều này xảy ra khi \( n-1 \) chia hết cho \( 1 \). Do đó, \( n - 1 \) có thể nhận các giá trị \( 1 \) hoặc \( -1 \) (tương ứng với \( n = 2 \) hoặc \( n = 0 \)).

Vậy ta có các giá trị thích hợp của \( n \):

- \( n = 2 \)
- \( n = 0 \)

Tóm lại, các giá trị \( n \) nguyên sao cho \( 10n^2 + n - 10 \) chia hết cho \( n-1 \) là \( n = 2 \) và \( n = 0 \).