Gọi \( x \) là thời gian dự định hoàn thành kế hoạch (số ngày).

Theo đề bài, xí nghiệp dự định đánh bắt 145 tấn cá. Ngoài ra, mỗi ngày họ đã đánh bắt vượt kế hoạch 1 tấn, đồng nghĩa với việc thực tế họ đánh bắt được \( y = \frac{145}{x} + 1 \) tấn mỗi ngày.

Khi thực hiện kế hoạch theo số ngày thực tế, họ đã hoàn thành sớm 4 ngày và tổng lượng cá đạt được vượt 5 tấn. Điều này có nghĩa là:

\[
(x - 4) \left( \frac{145}{x} + 1 \right) = 145 + 5
\]

Từ phương trình này, ta có:

\[
(x - 4) \left( \frac{145}{x} + 1 \right) = 150
\]

Mở rộng phương trình:

\[
(x - 4) \left( \frac{145}{x} + 1 \right) = (x - 4) \cdot \frac{145}{x} + (x - 4) = 150
\]

\[
\frac{145(x - 4)}{x} + x - 4 = 150
\]

Nhân cả hai vế với \( x \) để loại mẫu:

\[
145(x - 4) + x^2 - 4x = 150x
\]

Sắp xếp lại:

\[
x^2 - 150x + 145x - 580 = 0
\]

\[
x^2 - 5x - 580 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai bằng công thức:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 2320}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{2345}}{2}
\]

Tính giá trị \( \sqrt{2345} \) (xấp xỉ \( 48.4 \)):

\[
x = \frac{5 + 48.4}{2} \approx 26.7
\]

Do đó, thời gian dự định hoàn thành là khoảng 27 ngày (số ngày thực tế phải là số nguyên). Vậy:

Thời gian dự định hoàn thành kế hoạch là 29 ngày.