Để chứng minh rằng biểu thức \( G(x) = -\frac{3}{4}x^4 - 3x^2 - 6 \) luôn có giá trị âm với mọi giá trị \( x \), ta sẽ phân tích từng thành phần của biểu thức.

1. **Phân tích các thành phần**:
- Thành phần \( -\frac{3}{4}x^4 \): Đây là một hàm bậc 4 với hệ số âm, nên nó sẽ có giá trị âm hoặc bằng 0 cho mọi \( x \).
- Thành phần \( -3x^2 \): Đây cũng là một hàm bậc 2 với hệ số âm, vì vậy nó cũng sẽ có giá trị âm hoặc bằng 0 cho mọi \( x \).
- Giá trị hằng số \(-6\): Rõ ràng là giá trị âm.

2. **Kết hợp các thành phần**:
- Với bất kỳ giá trị nào của \( x \), cả hai thành phần \( -\frac{3}{4}x^4 \) và \( -3x^2 \) đều sẽ có giá trị âm, do đó tổng của chúng sẽ là một giá trị âm.
- Cộng thêm giá trị hằng số \(-6\) cũng là một giá trị âm, nên tổng của tất cả các thành phần sẽ luôn cho kết quả âm.

3. **Kết luận**:
- Do đó, \( G(x) = -\frac{3}{4}x^4 - 3x^2 - 6 < 0 \) với mọi \( x \).

Vậy biểu thức \( G(x) \) luôn có giá trị âm với mọi giá trị của \( x \).