Để chứng minh ADHE là hình chữ nhật và rằng \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \), ta sẽ tiến hành như sau:

### a) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật

1. **Xét tam giác vuông ABC**:
- Đây là tam giác vuông tại A, có đường cao AH.

2. **Hình tròn (I)**:
- Hình tròn (I) có bán kính BH cắt AB tại D. Nghĩa là D là điểm thuộc đường tròn (I).

3. **Hình tròn (K)**:
- Hình tròn (K) có bán kính HC cắt AC tại E. Nghĩa là E là điểm thuộc đường tròn (K).

4. **Chứng minh 4 góc**:
- Để ADHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng AD vuông góc với AE và AD vuông góc với HE.
- Do D nằm trên đường tròn (I), góc ADB (góc nội tiếp) bằng góc AHB (góc tạo bởi đường cao), nên AD ⊥ AB.
- Tương tự, E nằm trên đường tròn (K), nên góc AEC bằng góc AHC, suy ra AE ⊥ AC.

5. **Kết luận**:
- AD ⊥ AB và AE ⊥ AC. Do đó, ADHE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh rằng \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)

1. **Áp dụng định lý Sin**:
- Trong tam giác vuông ABE và ACD, ta có:
- \( AD = AH \cdot \sin(ACD) \)
- \( AB = AH \cdot \sin(ABE) \)
- Tương tự cho AE và AC.

2. **Sử dụng tỉ lệ**:
- Từ tam giác vuông, ta có:
\[
AB = AD \cdot \frac{1}{\sin(ABE)}
\]
\[
AC = AE \cdot \frac{1}{\sin(ACD)}
\]

3. **Kết hợp hai phương trình**:
- Suy ra:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

### c) Giả sử \( AB = 3 \, cm \), \( BC = 5 \, cm \)

1. **Tính DE**:
- Ta có thể sử dụng Pythagore hoặc các định lý liên quan để tính chiều dài DE tùy thuộc vào hình vẽ cụ thể.

2. **Tính diện tích tứ giác DEKI**:
- Diện tích tứ giác DEKI có thể được tính thông qua diện tích của các tam giác hoặc hình chữ nhật mà nó tạo thành.

Nếu bạn có yêu cầu cụ thể hơn về giá trị hay công thức nào khác, hãy cho tôi biết!