Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh \( Ax \parallel By \)**:
- Ta có hai đường thẳng \( c \) và \( b \) song song với nhau.
- Đường thẳng \( m \) cắt đường thẳng \( c \) và \( b \) tại điểm \( C \), tạo ra góc \( 124^\circ \) với đường thẳng \( c \).
- Từ đó, góc \( x \) sẽ là góc đồng vị với góc \( 124^\circ \) tại điểm \( C \).
- Do đó, \( x = 124^\circ \) mà \( y = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \).
- Theo tính chất của các góc đồng vị, ta có thể kết luận rằng \( Ax \parallel By \).

2. **Tính số đo góc \( NDY \)**:
- Từ thông tin đã có, ta có thể tính góc \( NDY \) bằng cách sử dụng tính chất của các góc.
- Ta biết rằng góc \( D \) và góc \( x \) bổ sung nhau: \( 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \).
- Do đó, góc \( NDY = 56^\circ \).

3. **Chứng minh \( DE \parallel AB \)**:
- Từ đường thẳng song song \( Ax \parallel By \), ta thấy rằng đường thẳng cắt nhau tại các điểm \( A \) và \( B \), góc \( 124^\circ \) đã xác minh rằng \( DE \parallel AB \).
- Tương tự với cách trên, \( AB \) và \( DE \) cũng tạo ra các góc đồng vị và góc ngoài nhau, cho thấy rằng \( DE \parallel AB \).

Tóm lại, các yêu cầu đã được chứng minh và tính toán:
- \( Ax \parallel By \) và \( DE \parallel AB \).
- Góc \( NDY = 56^\circ \).