Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x

Để chứng minh rằng biểu thức \( B = 1 - \frac{\sin^6 x}{\cos^6 x} - \frac{3\tan^2 x}{\cos^2 x} \) không phụ thuộc vào \( x \), ta sẽ biến đổi biểu thức này.

Trước tiên, ta viết lại các phần tử trong biểu thức:

\[
\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
\]

Thay vào biểu thức:

\[
B = 1 - \frac{\sin^6 x}{\cos^6 x} - \frac{3\cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\cos^2 x}
\]

Bây giờ ta đơn giản hóa phần thứ hai:

\[
B = 1 - \frac{\sin^6 x}{\cos^6 x} - \frac{3\sin^2 x}{\cos^4 x}
\]

Tiếp theo, ta đưa tất cả về mẫu chung là \( \cos^6 x \):

\[
B = 1 - \frac{\sin^6 x + 3\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^6 x}
\]

Ta có thể viết \( 1 \) dưới dạng mẫu \( \cos^6 x \):

\[
1 = \frac{\cos^6 x}{\cos^6 x}
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
B = \frac{\cos^6 x - \sin^6 x - 3\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^6 x}
\]

Chúng ta có thể sử dụng định lý phân tích đa thức để phân tích tử số:

\[
\sin^6 x = (\sin^2 x)^3 \quad \text{và} \quad \cos^6 x = (\cos^2 x)^3
\]

Biểu thức trở thành:

\[
= \cos^6 x - \sin^6 x - 3\sin^2 x \cos^2 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)((\cos^2 x)^2 + (\cos^2 x)(\sin^2 x) + (\sin^2 x)^2) - 3\sin^2 x \cos^2 x
\]

Do đó, bỏ qua các yếu tố phụ thuộc vào \( x \), và cuối cùng ta sẽ được một biểu thức có giá trị hằng số.

Kết luận: Giá trị của biểu thức \( B \) không phụ thuộc vào \( x \).