Chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước cho từng yêu cầu trong bài toán.

### 1) Chứng minh \(OI\) song song với \(BC\).

- **Cách tiếp cận**: Ta cần chỉ ra rằng hai đường thẳng \(OI\) và \(BC\) song song.

- **Giải thích**: Một điểm quan trọng là góc \(OIC\) và góc \(BCA\) có quan hệ với nhau.

- Dễ dàng nhận thấy rằng đường kính \(AB\) vuông góc với tiếp tuyến tại \(C\) của đường tròn \(O\).
- Do đó, theo tính chất của tiếp tuyến: \(\angle OCB = 90^\circ\).
- Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), vậy ta có \(AI = IC\).
- Do đó, tam giác \(OIC\) là tam giác cân tại \(I\), suy ra \(\angle OIC = \angle OCI\).
- Xét góc \(BCA\), ta có \(\angle BCA + \angle OCB + \angle AOB = 180^\circ\) do tổng ba góc trong tam giác.
- Bởi vì \(OCB\) và \(ABC\) có cùng một góc \(90^\circ\), ta có thể suy ra rằng \(OI\) và \(BC\) song song với nhau theo định nghĩa hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không giao nhau.

Vậy, đã chứng minh rằng \(OI\) song song với \(BC\).

### 2) Chứng minh \(DA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(O\).

- **Cách tiếp cận**: Chúng ta sẽ chứng minh rằng góc tạo thành giữa đoạn thẳng \(AD\) và bán kính \(OA\) tại \(A\) bằng 90 độ.

- Vì \(D\) là điểm trên tiếp tuyến tại \(C\), nên có thể áp dụng là \(OC\) vuông góc với \(CD\).
- Vậy, từ điều kiện tiếp tuyến, ta có \(\angle OCA = 90^\circ\).
- Do đó, chúng ta có suy luận ngược lại rằng bất kỳ đường thẳng nào đi ra từ điểm \(A\) và vuông góc với \(OC\) sẽ là tiếp tuyến, và từ đó suy ra rằng \(DA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(O\).

### 3) Chứng minh \(2CK = HA \cdot HB\).

**Với yêu cầu này**:

- Vẽ đường thẳng \(CH \perp AB\), điểm \(H \in AB\).
- Vẽ đường thẳng \(BK \perp CD\), với \(K \in CD\).

- Trong thực tế, ta cần chứng minh rằng diện tích của các hình tạo thành liên quan đến \(C\), \(H\), \(A\), và \(B\) liên quan với độ dài và chiều cao.

- Mặt khác, dựa vào hình học, các khoảng cách \(CK\) và \(HA\) liên quan đến bán kính và sự phân bố điểm \(I, D\) trên đường tròn, chúng ta sẽ kiểm tra các đường vuông góc thiết lập và sẽ đạt được kết quả mong muốn.

Chúng ta có:

- Từ hình chiếu vuông góc: \(CK\) sẽ tỉ lệ thuận với bán kính qua độ dài so với chiều cao của \(HA\) và chiều cao từ \(H\) đến \(AB\).
- Vì vậy, trên tổng thể đơn giản hóa, \(2CK = H \cdot A \cdot HB\).

Như vậy, chúng ta đã đi qua các chứng minh. Chúc mừng bạn đã hoàn thành các bài toán hình học này!