Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Đường cao AH. Lấy điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD

Để trả lời các câu hỏi của bạn, trước tiên hãy vẽ hình cho tam giác ABC vuông cân tại A. Chúng ta có thể vẽ hình như sau:

1. Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC.
2. Vẽ đường cao AH từ A xuống cạnh BC.
3. Lấy điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD.
4. Lấy điểm E sao cho AC là đường trung trực của HE.

Trong hình vẽ, A là đỉnh, B và C là hai đỉnh còn lại, D nằm trên đường thẳng AB, và E nằm trên đường thẳng AC.

---

### a) Chứng minh: AD = AE

Xét hai tam giác ABD và ACE:

- AB = AC (do ABC vuông cân tại A).
- AD = AE (vì AB và AC là đường trung trực của HD và HE tương ứng).
- Góc BAD = góc CAE (góc vuông tại A).

Theo tiêu chí cạnh-hai cạnh và góc kề (cạnh huyền và cạnh điều kiện), ta có:

\[
\triangle ABD \cong \triangle ACE
\]

Suy ra:

\[
AD = AE
\]

### b) Tam giác DHE là tam giác gì?

Trong tam giác DHE, ta có:

- AB là đường trung trực của HD, tức là \( DH = HD \).
- AC là đường trung trực của HE, tức là \( EH = HE \).

Hai đoạn thẳng DH và EH đều bằng nhau, do đó ta có:

\[
DH = EH \implies DE = HE
\]

Vậy tam giác DHE là tam giác cân, với DH = DE.

### c) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?

Tứ giác BDEC có các đặc điểm như sau:

- BD = DC (vì AB là trung trực của HD và AC là trung trực của HE).
- BC = BD + DC, từ đó suy ra BC là một đường thẳng.

Vì vậy, tứ giác BDEC là hình bình hành, khi đó các cạnh đối dưới là bằng nhau.

### d) Chứng minh: BC = BD + CE

Từ sự lựa chọn điểm E tạo thành đường trung trực thì:

\[
BC = BD + CE
\]

Đến đây ta có:

- BC là cạnh chung của tam giác ABC.
- BD là đoạn mà chúng ta đã rút ra từ đường trung trực.
- CE cũng là đoạn trên cùng một đường.

Ta thấy rằng:

\[
BC = BD + CE
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong.

---

### Hình vẽ (mô tả)

- Vẽ một tam giác vuông cân ABC với A là đỉnh vuông.
- Vẽ đường cao AH từ A đến cạnh BC.
- Điểm D nằm trên đường thẳng AB và điểm E nằm trên đường thẳng AC.

Việc vẽ hình có thể thực hiện tốt hơn bằng phần mềm vẽ hình học hoặc máy tính bảng. Nếu có vấn đề gì chưa rõ, hãy cho tôi biết!