Cho \( x, y, z \) là các số thực dương sao cho: \( x + y + z = 1 \). Chứng minh rằng:

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{3}{xy + yz + zx} + \frac{2}{x^2 + y^2 + z^2} > 14,
\]

với điều kiện \( x+y+z = 1 \) và \( x, y, z \) là các số thực dương, ta có thể bắt đầu bằng cách tìm các giá trị của \( xy + yz + zx \) và \( x^2 + y^2 + z^2 \).

Theo định lý Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx),
\]

từ đó suy ra:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy + yz + zx) = 1 - 2(xy + yz + zx).
\]

Ký hiệu \( S = xy + yz + zx \), ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = 1 - 2S.
\]

Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh, ta có:

\[
\frac{3}{S} + \frac{2}{1 - 2S} > 14.
\]

Đưa về cùng một mẫu số, ta có:

\[
\frac{3(1 - 2S) + 2S}{S(1 - 2S)} > 14.
\]

Rút gọn, ta có:

\[
\frac{3 - 6S + 2S}{S(1 - 2S)} > 14 \implies \frac{3 - 4S}{S(1 - 2S)} > 14.
\]

Giải bất đẳng thức này:

\[
3 - 4S > 14S(1 - 2S).
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
3 > 14S - 28S^2 \implies 28S^2 - 14S + 3 > 0.
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
D = 14^2 - 4 \cdot 28 \cdot 3 = 196 - 336 = -140 < 0.
\]

Vì vậy, phương trình bậc hai không có nghiệm thực. Do đó, bất đẳng thức trên luôn đúng cho mọi \( S \) khả thi trong khoảng (0, 0.25) (theo điều kiện \( xy + yz + zx \leq \frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{1}{3} \)).

Do đó, ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{3}{xy + yz + zx} + \frac{2}{x^2 + y^2 + z^2} > 14.
\]