Cho tam giác ABC có góc vuông. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: BD = DC = DH * DA

Để chứng minh các hệ quả trong tam giác vuông ABC với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, ta thực hiện như sau:

### Chứng minh a: \( BD \cdot DC = DH \cdot DA \)

1. **Sử dụng định nghĩa đường cao trong tam giác**:
- Trong tam giác vuông ABC, \( AD \) là đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC, \( BE \) là đường cao kẻ từ B xuống AC, và \( CF \) là đường cao kẻ từ C xuống AB.

2. **Chia tam giác thành các tam giác nhỏ**:
- Xét các tam giác nhỏ \( ABD, ACD \) và \( AHD \) (tam giác AHD rất quan trọng vì nó chứa điểm H).

3. **Áp dụng định lý Pythagore**:
- Trong tam giác AHD, ta có:
\[
AH^2 + DH^2 = AD^2 \quad (1)
\]
- Trong tam giác ABD:
\[
AB^2 = AD^2 + BD^2 \quad (2)
\]
- Trong tam giác ACD:
\[
AC^2 = AD^2 + DC^2 \quad (3)
\]

4. **Từ các số đo này, Kết hợp các tỷ lệ**:
- Từ (1) và (2), từ (1) và (3), ta sẽ thấy được tỉ lệ mà từ đó chứng minh được \( BD \cdot DC = DH \cdot DA \).

### Chứng minh b: \( \frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1 \)

1. **Diện tích tam giác**:
- Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng cách sử dụng độ dài cạnh và chiều cao.
- Diện tích sẽ được tính theo các đoạn đường cao và tỷ lệ.

2. **Sử dụng công thức tính diện tích**:
- Diện tích tạm ứng từ các đường cao trong tam giác giúp chứng minh được tổng hai chiều cao chia cho tổng các cạnh là 1.

### Chứng minh c: Kẻ FM ⊥ AC và EN ⊥ CF

1. **Kết luận từ việc kẻ đường cao**:
- Từ tính chất của các đường cao trong tam giác vuông, các đường vuông góc sẽ luôn song song với nhau và cho ra các tỷ lệ đúng như yêu cầu.

2. **Tính chất song song**:
- Từ các đường cao đến các đoạn chưa được kẻ thành các đường song song.

### Kết luận

Việc chứng minh tích \( BD \cdot DC = DH \cdot DA \) đi đôi với các công thức thuộc về diện tích là rất quan trọng trong việc chứng minh các hệ quả khác.

Hy vọng các bước khái quát trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các chứng minh trong bài toán!