Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng bước một cách tỉ mỉ.

### a) Tìm tọa độ A, B, C

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh a, với O là trung điểm của cạnh BC. Thiết lập tọa độ như sau:

- B đặt tại tọa độ \((- \frac{a}{2}, 0)\)
- C đặt tại tọa độ \((\frac{a}{2}, 0)\)
- Để tìm tọa độ A, ta biết rằng điểm A phải nằm trên đường thẳng vuông góc với BC và cách đều hai điểm B và C.

Tính độ cao của tam giác đều từ A đến BC:

\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
\]

Vậy tọa độ A sẽ là:

\[
A(0, h) = (0, \frac{\sqrt{3}}{2} a)
\]

Tổng hợp lại, ta có:

- B \((- \frac{a}{2}, 0)\)
- C \((\frac{a}{2}, 0)\)
- A \((0, \frac{\sqrt{3}}{2} a)\)

### b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC

Tọa độ của E là trung điểm của đoạn thẳng AC. Công thức tọa độ trung điểm:

\[
E = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)
\]

Áp dụng công thức với tọa độ của A và C:

\[
E = \left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4} a\right)
\]

### c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều là giao điểm của các đường trung trực. Trong trường hợp tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đoạn thẳng từ A đến O (trung điểm BC).

Tọa độ O là:

\[
O = \left(\frac{-\frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (0, 0)
\]

Và tọa độ trung điểm của AO sẽ là:

\[
T = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a + 0}{2}\right) = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4} a\right)
\]

Tóm lại:

- Tọa độ A: \( (0, \frac{\sqrt{3}}{2} a) \)
- Tọa độ B: \( (-\frac{a}{2}, 0) \)
- Tọa độ C: \( (\frac{a}{2}, 0) \)
- Tọa độ trung điểm E của AC: \( E = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4} a\right) \)
- Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp: \( T = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4} a\right) \)

Hy vọng câu trả lời này giúp ích cho bạn!