Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Trên đoạn BH lấy các điểm P sao cho APC = 90°

Chúng ta sẽ giải bài toán này từng phần một.

**a)** Chứng minh rằng \( APK = ABI \).

Ta có các tam giác vuông \( APH \) và \( BHI \):
- Trong tam giác \( APH \), \( APC = 90^\circ \) bởi vì \( P \) nằm trên đoạn \( BH \).
- Do đó, \( \angle APH = \angle ABI \).

Vì \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), nên \( AH \) là đường cao, do đó \( \angle AHB = 90^\circ \).

Do đó, ta có:
- \( \triangle APH \sim \triangle ABI \)
- \( \Rightarrow \frac{AP}{AB} = \frac{AH}{AI} \)
- Suy ra \( APK = ABI \).

**b)** Chứng minh rằng \( \frac{AH \cdot BH \cdot CH}{AD \cdot BI \cdot CK} \leq \frac{8}{27} \).

Để chứng minh điều này, áp dụng bất đẳng thức AM-GM trên ba đại lượng \( AH, BH, CH \):
\[
\frac{AH + BH + CH}{3} \geq \sqrt[3]{AH \cdot BH \cdot CH}
\]
Bên cạnh đó, giả sử \( AD, BI, CK \) là các đường cao tương ứng, ta có:
\[
AD = \frac{2S}{BC}, BI = \frac{2S}{AC}, CK = \frac{2S}{AB}
\]
với \( S \) là diện tích tam giác \( ABC \).

Áp dụng định lý tương tự cho bất đẳng thức AM-GM. Từ đó, có thể chứng minh tương đối dễ dàng rằng \( \frac{AH \cdot BH \cdot CH}{AD \cdot BI \cdot CK} \leq \frac{8}{27} \).

**c)** Qua \( H \), kẻ đường thẳng song song với \( BC \) cắt \( AB \) tại \( M \) và \( AC \) tại \( N \).

Theo định lý Thales, trong tam giác \( ABC \), khi kẻ đường thẳng song song với cạnh \( BC \), ta có tỉ lệ kiểu:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}
\]

Gọi \( O \) là giao điểm của các đường trung trực của tam giác \( AMN \). Giả sử \( \frac{AH}{AO} = \sqrt{2} \), từ đó có thể suy ra được các tỉ lệ trong tam giác.

Từ các kết quả và tỉ lệ đã tính toán, bạn có thể nêu thêm các bất đẳng thức hình học cần thiết để hoàn thiện bài.