Tìm đồng biến và nghịch biến

Để tìm miền đồng biến và nghịch biến của hàm số \( y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \), trước tiên chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số này.

### 1. Tính đạo hàm:
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho thương số, ta có:

\[
y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2}
\]

trong đó \( u = x^2 - x - 1 \) và \( v = x - 2 \).

- Tính \( u' \) và \( v' \):
- \( u' = 2x - 1 \)
- \( v' = 1 \)

Áp dụng vào công thức đạo hàm:

\[
y' = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x - 1)(1)}{(x - 2)^2}
\]

### 2. Giản lược biểu thức đạo hàm:
Ta thực hiện phép nhân và giản ước:

\[
y' = \frac{(2x^2 - 4x - x^2 + x + 1)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 3x + 1}{(x - 2)^2}
\]

### 3. Xét dấu của \( y' \):
Để xác định miền đồng biến và nghịch biến, ta cần xét dấu của tử số \( x^2 - 3x + 1 \).

Giải phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 3x + 1 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Gọi \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \) và \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \).

### 4. Xét các khoảng:
Ta có ba khoảng để xét dấu của \( y' \):

- \( (-\infty, x_1) \)
- \( (x_1, x_2) \)
- \( (x_2, +\infty) \)

Ta xét dấu của \( x^2 - 3x + 1 \):

1. **Khoảng \( (-\infty, x_1) \)**: Đạo hàm dương \( y' > 0 \) (hàm đồng biến).
2. **Khoảng \( (x_1, x_2) \)**: Đạo hàm âm \( y' < 0 \) (hàm nghịch biến).
3. **Khoảng \( (x_2, +\infty) \)**: Đạo hàm dương \( y' > 0 \) (hàm đồng biến).

### 5. Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}) \) và \( (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty) \).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}) \).

Bạn có thể sử dụng giá trị số để xác định vùng đồng biến và nghịch biến rõ ràng hơn nếu cần thiết.