Để giải các bài toán này, ta cần áp dụng các định lý hình học cơ bản. Dưới đây là cách giải cho từng bài:

### Bài 3:
Cho hình vẽ 3, biết \( AB = CD \), \( AD = BC \). Chứng minh rằng \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

**Giải:**

1. **Dựa vào định lý:** Nếu hai cặp cạnh đối diện của hình thang bằng nhau, thì các cạnh đó song song với nhau.
2. Theo giả thiết:
- \( AB = CD \) (cạnh trên bằng cạnh dưới)
- \( AD = BC \) (cạnh bên trái bằng cạnh bên phải)
3. Do đó, theo định lý trên, ta có:
- \( AB \parallel CD \)
- \( AD \parallel BC \)

### Bài 4:
Cho \( \triangle ABC \) có \( AB = AC \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh rằng:

a) \( AM \) là phân giác của góc \( BAC \).

b) \( AM \perp BC \).

**Giải:**

1. **a)** Để chứng minh \( AM \) là phân giác, ta dùng định lý về phân giác. Vì \( AB = AC \), ta có:
- \( MB = MC \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \))
- Từ đó, từ tam giác \( ABM \) và \( ACM \) có \( AB = AC \), \( MB = MC \), \( AM \) chung, suy ra \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \) (cớ sở định lý đồng dạng).
- Vậy \( \angle BAM = \angle CAM \) ⇒ \( AM \) là phân giác.

2. **b)** Để chứng minh \( AM \perp BC \):
- Từ giả thiết \( AB = AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta đã chứng minh được \( AM \) là phân giác, nên \( AM \) cắt \( BC \) tại 90 độ, do đó \( AM \perp BC \).

### Bài 5:
Cho hình vẽ 4, biết \( PA = PB \), \( SA = SB \), \( QA = QB \). Chứng minh rằng 3 điểm \( P, Q, S \) thẳng hàng.

**Giải:**

1. Theo giả thiết, ta có:
- \( PA = PB \) (điểm \( P \) nằm trên đường tròn đường kính \( AB \))
- \( SA = SB \) (điểm \( S \) nằm trên đường tròn đường kính \( AB \))
- \( QA = QB \) (điểm \( Q \) nằm trên đường tròn đường kính \( AB \))

2. Từ \( PA = PB \), và \( SA = SB \) cho thấy \( P \) và \( S \) nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn đường kính \( AB \).
3. Vì \( P \) và \( Q \) đều nằm trên các đường tròn có chung đường kính là \( AB \), nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng qua điểm \( A \) và \( B \).
4. Do đó, suy ra \( P, Q, S \) thẳng hàng.

Nếu có câu hỏi nào thêm hoặc cần làm rõ, bạn có thể hỏi thêm!