Chứng minh rằng ba điểm D, E, F thẳng hàng

Để chứng minh rằng ba điểm \( D, E, F \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lý về góc giữa hai đường thẳng.

1. **Gọi các góc:** Đặt \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \), và \( \angle C = \gamma \) với \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \) (tổng các góc của tam giác).

2. **Cách xác định các điểm \( D, E, F \):**

- Điểm \( D \) là chân đường phân giác trong của góc \( A \), do đó \( \angle BAD = \angle DAB = \frac{1}{2} \alpha \).
- Điểm \( E \) là chân đường phân giác trong của góc \( B \), do đó \( \angle ABE = \angle EBA = \frac{1}{2} \beta \).
- Điểm \( F \) là chân đường phân giác ngoài của góc \( C \), nên \( \angle ACF = \angle FCB = \frac{1}{2} \gamma \) và \( \angle FBC = \angle BCF = \frac{1}{2} \gamma \).

3. **Tính toán:**

Ta sẽ tính tổng các góc tại điểm \( F \):
\[
\angle AFE = \angle AFB - \angle BFE = (180^\circ - \angle CAF) - \angle EFB
\]
Vì 점 \( F \) là chân đường phân giác ngoài của \( C \), ta có:
\[
\angle CAF = \angle ACB + \angle BCF = \gamma + \frac{1}{2} \gamma = \frac{3}{2} \gamma
\]

Sau đó, tổng các góc tại \( F \):
\[
\angle AFE = (180^\circ - \frac{3}{2} \gamma) - (180^\circ - \frac{1}{2} \beta) = \frac{1}{2} \beta - \frac{3}{2} \gamma
\]

4. **Kiểm tra sự thẳng hàng:**

Để ba điểm \( D, E, F \) thẳng hàng, tổng của các góc \( BAD, ABE, ACF \) quanh điểm \( A \) phải bằng 180°.
Chúng ta có:
\[
\angle DAE = \angle BAD + \angle ABE = \frac{1}{2} \alpha + \frac{1}{2} \beta = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) = \frac{1}{2} (180^\circ - \gamma) = 90^\circ - \frac{1}{2} \gamma
\]

Vậy tổng góc quanh point:
\[
\angle DAE + \angle AEF + \angle AFE = 90^\circ - \frac{1}{2} \gamma + \frac{1}{2} \gamma = 90^\circ
\]

Như vậy, nếu tính theo các góc vừa tìm được, ta thấy rằng:
\[
\angle DAE + \angle EAF + \angle FAD = 180^\circ,
\]
Do đó, ba điểm \( D \), \( E \), và \( F \) là thẳng hàng.

Kết luận: Ba điểm \( D, E, F \) thẳng hàng.