Để giải bài toán này, trước tiên ta sẽ tính chu vi của hình chữ nhật và sau đó tìm diện tích của hình vuông.

1. **Tính chiều rộng của hình chữ nhật:**
- Chiều dài của hình chữ nhật = 15 cm
- Chiều rộng = 1/5 chiều dài = \( \frac{1}{5} \times 15 \) = 3 cm

2. **Tính chu vi của hình chữ nhật:**
- Công thức chu vi hình chữ nhật là \( P = 2 \times ( chiều dài + chiều rộng ) \)
- Áp dụng vào hình chữ nhật ta có:

\[
P = 2 \times (15 + 3) = 2 \times 18 = 36 \text{ cm}
\]

3. **Chu vi của hình vuông cũng bằng chu vi của hình chữ nhật:**
- Chu vi hình vuông = 36 cm.
- Công thức chu vi hình vuông là \( P = 4 \times a \) (với \( a \) là độ dài cạnh của hình vuông).
- Giải phương trình:

\[
4a = 36 \implies a = \frac{36}{4} = 9 \text{ cm}
\]

4. **Tính diện tích hình vuông:**
- Diện tích hình vuông = \( a^2 \)

\[
Diện tích = 9^2 = 81 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích của hình vuông là **81 cm²**.