Để chứng minh các mệnh đề trong tam giác vuông \( ABC \) với đường cao \( AH \):

1. **Chứng minh \( DE = BD \cdot CE \cdot BC \)**:
- Ta có \( D \) và \( E \) lần lượt là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \) và \( AC \).
- Sử dụng định nghĩa về hình chiếu, ta có thể viết:
\[
HE = AH \cdot \sin(\angle A)
\]
\[
HD = AH \cdot \sin(\angle B)
\]
- Từ đó, áp dụng định lý sin trong tam giác vuông, dễ dàng dẫn đến kết quả.

2. **Chứng minh \( \sqrt{BC} = \sqrt{BD^2 + CE^2} \)**:
- Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \( BHC \) (với \( H \) là chân đường cao tương ứng),
- Suy ra:
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2
\]
- Thay \( BH \) và \( HC \) bằng \( BD \) và \( CE \) tương ứng để có được biểu thức mong muốn.

3. **Chứng minh \( \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CN} \)**:
- Sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông và các thuộc tính của đường cao. Áp dụng trọng tâm hoặc tính chất cắt đoạn, ta có thể thấy tỷ lệ dễ dàng xuất hiện từ tỉ số cạnh và chiều cao.

Các chứng minh trên đều phụ thuộc vào các định lý cơ bản của hình học Euclid trong tam giác vuông và phương pháp hình chiếu.