Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng yêu cầu một:

### a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(P(x)\)

Đa thức đã cho là:
\[
P(x) = 7x^2 + 3x^4 - x^3 + 5x^2 - 2010 - 6x^3 - 2x^2 + 2023 - x^3
\]

Bước đầu tiên là kết hợp các hạng tử tương tự:

- Các hạng tử \(x^4\): \(3x^4\)
- Các hạng tử \(x^3\): \(-x^3 - 6x^3 - x^3 = -8x^3\)
- Các hạng tử \(x^2\): \(7x^2 + 5x^2 - 2x^2 = 10x^2\)
- Các hạng tử hằng số: \(-2010 + 2023 = 13\)

Vậy, sau khi thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần, ta có:
\[
P(x) = 3x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 13
\]

### b) Nếu rỗng hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của \(P(x)\)

- **Hệ số cao nhất**: là hệ số trước \(x^4\), tức là \(3\).
- **Hệ số tự do**: là hằng số, tức là \(13\).
- **Bậc của \(P(x)\)**: là bậc cao nhất của \(P(x)\), tức là \(4\).

### c) Tính \(P(-2)\)

Giá trị của đa thức tại \(x = -2\) là:
\[
P(-2) = 3(-2)^4 - 8(-2)^3 + 10(-2)^2 + 13
\]
Tính từng phần:
- \(3(-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\)
- \(-8(-2)^3 = -8 \cdot (-8) = 64\)
- \(10(-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40\)
- Hằng số: \(13\)

Tổng cộng:
\[
P(-2) = 48 + 64 + 40 + 13 = 165
\]

### d) Chứng tỏ đa thức \(P(x)\) không có nghiệm.

Để chứng tỏ \(P(x)\) không có nghiệm thực, ta có thể kiểm tra dấu của \(P(x)\) ở một số điểm cố định hoặc sử dụng định lý về bậc của đa thức.

Với \(P(x) = 3x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 13\):
- Đa thức có bậc 4 (hệ số dương trước \(x^4\)).
- Ở vô cùng dương và âm, giá trị của \(P(x)\) sẽ dương do tính chất của đa thức bậc chẵn.
- Đồng thời, có thể tính giá trị tại vài điểm như \(P(0)\), \(P(1)\), \(P(-1)\) và thấy rằng \(P(x)\) luôn dương.

Từ những lý lẽ trên, có thể kết luận rằng \(P(x)\) không có nghiệm thực.