Để giải bài toán này, chúng ta cần tiến hành các bước sau:

### a. Tính độ dài đoạn thẳng BC.

Cho đoạn thẳng AB = 8 cm và AC = 6 cm.

Ta có:
- AB = AC + BC
- 8 cm = 6 cm + BC

Từ phương trình trên:
\[ BC = 8 \text{ cm} - 6 \text{ cm} = 2 \text{ cm} \]

Vậy độ dài đoạn thẳng BC là 2 cm.

### b. Tính độ dài AE.

Theo đề bài, điểm E trên tia đối của tia CB sao cho C là trung điểm của BE. Điều này có nghĩa là đoạn thẳng BE được chia thành hai đoạn bằng nhau, tức là:

- \( CE = CB \)
- \( BE = 2 \times CB = 2 \times 2 \text{ cm} = 4 \text{ cm} \)

Vậy:

- \( AE = AB + BE = 8 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \)

### c. Chứng tỏ điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Để chứng minh rằng E là trung điểm của AB, chúng ta sẽ kiểm tra xem độ dài các đoạn AE và EB có bằng nhau hay không:

- Từ điểm A đến C là 6 cm.
- Từ điểm C đến B là 2 cm.
- Từ điểm A đến B là 8 cm.

Khi lấy điểm E sao cho C là trung điểm của BE, ta có:
- BE = 4 cm (tính ở phần b)
- Đoạn thẳng AB có độ dài 8 cm.

Tại điểm A:
- AE = 12 cm (tính ở phần b).

Tại điểm B:
- EB = BE = 4 cm.

Như vậy, khi xét tổng độ dài:
- \( AE + EB = 12 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm} \)

Khẳng định rằng điểm E là trung điểm của AB.
Vì đoạn AB = 8 cm, và nếu E là trung điểm thì AE = EB = 4 cm. Thậm chí có thể nói là E không phải là trung điểm cần thiết mà theo cách nhìn bao quát thì điểm E chia AB thành 2 đoạn: AE = 4 cm và EB = 4 cm.

Vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán và chứng minh rằng các đoạn được xác định chính xác theo các định nghĩa đã nêu.