Để chứng minh bốn điểm \( A, D, H, E \) cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể áp dụng định lý đường tròn bốn điểm.

### Giải

1. **Tính chất đường cao trong tam giác**:
- Trong tam giác \( ABC \), \( BD \) và \( CE \) là các đường cao. Do đó, các góc \( \angle ADB \) và \( \angle AEC \) đều là góc vuông.

2. **Góc ngoài**:
- Tại điểm \( H \), ta có \( \angle AHB = \angle ADB + \angle AEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

3. **Đường tròn**:
- Theo định lý đường tròn, nếu bốn điểm \( A, D, H, E \) thỏa mãn điều kiện trên, thì bốn điểm này sẽ nằm trên một đường tròn.

Vì \( \angle AHB = 180^\circ \) nên \( A, D, H, E \) cùng nằm trên một đường tròn.

### Kết luận
Vậy ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( A, D, H, E \) nằm trên một đường tròn.