Để chứng minh các mệnh đề cho trong bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý về đường phân giác và một số công thức trong tam giác.

**a) Chứng minh: \( AD \cdot DE = BD \cdot CD \)**

Gọi \( \angle ECD = \angle BAD \). Do \( AD \) là đường phân giác của \( \angle BAC \), nên theo định lý đường phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}
\]

Gọi \( BD = x \) và \( CD = y \). Khi đó, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{x}{y}
\]

Theo định lý sin trong tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle CDE \), ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{DE}
\]

Vậy từ hai tỉ số trên, ta có:

\[
\frac{x}{y} = \frac{AE}{DE}
\]

Suy ra:

\[
x \cdot DE = y \cdot AE
\]

Nhân cả hai vế với \( AD \):

\[
AD \cdot DE = \frac{AB}{AC} \cdot AD \cdot DE = \frac{BD \cdot AE}{CD}
\]

Nhưng theo định lý sin trong \( \triangle ABE \):

\[
AD \cdot AE = AB \cdot AE
\]

Kết hợp lại, ta coi tỉ lệ giữa các cạnh và hoàn thiện chứng minh:

\[
AD \cdot DE = BD \cdot CD
\]

**b) Chứng minh: \( AD \cdot AE = AB \cdot AC \)**

Từ mệnh đề trên, ta đã thiết lập được:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD \cdot AE}{AD \cdot DE}
\]

Khi đó, do \( DE = AE \) (nhờ vào tính chất của đường phân giác và góc), ta có:

\[
AD \cdot AE = \frac{AB}{AC} \cdot AD \cdot DE \Rightarrow AB \cdot AC = AD \cdot AE
\]

Kết hợp lại với thông tin từ mệnh đề a), ta đã chứng minh rằng:

\[
AD \cdot AE = AB \cdot AC
\]

Vậy, cả hai mệnh đề đã được chứng minh.