Cho hàm số y = ax+b (a khác 0) có độ dốc là (d). Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) đi qua điểm A(1;2) và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm C có tung độ dương và thỏa mãn (OB+OC) nhỏ nhất (O là gốc tọa độ)

Để giải bài toán này, ta sẽ trình bày từng bước như sau:

### Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng (d)

Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng:
\[ y = ax + b \]
với độ dốc là \( a \) (khác 0).

### Bước 2: Tìm b từ điểm A(1;2)

Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2), ta có:
\[ 2 = a \cdot 1 + b \]
=>
\[ b = 2 - a \]

Vậy phương trình (d) trở thành:
\[ y = ax + (2 - a) \]

### Bước 3: Xác định các giao điểm với trục hoành và trục tung

- **Giao điểm với trục hoành (B):**

Giao điểm với trục hoành xảy ra khi \( y = 0 \):
\[ 0 = ax + (2 - a) \]
=>
\[ ax = a - 2 \]
=>
\[ x_B = \frac{2 - a}{a} \]

- **Giao điểm với trục tung (C):**

Giao điểm với trục tung xảy ra khi \( x = 0 \):
\[ y = a \cdot 0 + (2 - a) = 2 - a \]
=>
\[ y_C = 2 - a \]

### Bước 4: Tính \( OB + OC \)

Ta có \( OB = x_B = \frac{2 - a}{a} \) và \( OC = y_C = 2 - a \).
Vậy:
\[ OB + OC = \frac{2 - a}{a} + (2 - a) \]
=>
\[ OB + OC = \frac{2 - a + a(2 - a)}{a} \]
=>
\[ OB + OC = \frac{2 - a + 2a - a^2}{a} = \frac{2 + a - a^2}{a} \]

### Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( OB + OC \)

Để \( OB + OC \) nhỏ nhất, ta cần khảo sát hàm số:
\[ f(a) = \frac{2 + a - a^2}{a} = \frac{2}{a} + 1 - a \]

Áp dụng quy tắc vi phân, ta tính đạo hàm và tìm điểm cực trị.
\[ f'(a) = -\frac{2}{a^2} - 1 \]

Giải \( f'(a) = 0 \):
\[ 0 = -\frac{2}{a^2} - 1 \] => không có nghiệm thực dương.

### Bước 6: Kiểm tra điều kiện

Nếu cần điều kiện cho \( OB \) và \( OC \) dương:
- \( x_B > 0 \): \( 2 - a > 0 \) => \( a < 2 \)
- \( y_C > 0 \): \( 2 - a > 0 \) => \( a < 2 \)

Cuối cùng, phương trình được xác định là:
\[ y = ax + (2 - a) \]
với \( a \) nhỏ hơn 2.