Để giải quyết các phần của bài toán này, ta sẽ làm theo từng yêu cầu:

### Câu 1:
#### a) Chứng minh rằng \( MG = \frac{1}{12} \overrightarrow{AC} - \frac{5}{12} \overrightarrow{AB} \).

1. **Tính tọa độ của điểm M:**
- Theo định nghĩa của điểm M:
\[
3\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \implies 3\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MC} \implies \overrightarrow{MB} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{MC}
\]

2. **Sử dụng trọng tâm G (tỷ lệ điểm):**
- Tọa độ G (trọng tâm) của tam giác ABC là:
\[
\overrightarrow{G} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})
\]

3. **Tính vectơ MG:**
- Từ G đến M:
\[
\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{M}
\]

4. **Thay thế tọa độ G và M vào phương trình để chứng minh.**

#### b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AC và MG. Tính tỉ số \( \frac{KA}{KC} \).

1. **Tìm phương trình đường thẳng AC và MG:**
- Xác định phương trình tổng quát của AC và MG dựa vào tọa độ của A, B, C.

2. **Xác định K bằng cách giải hệ phương trình từ hai đường thẳng.**

3. **Tính tỉ lệ \( \frac{KA}{KC} \) bằng cách áp dụng định lý phân giác.**

### Bài 1:
#### a) Tìm tập hợp \( A \cap Z \)

Tập hợp \( A = [-1; 6] \) có các số nguyên là:
\[
\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}
\]

#### b) Tìm \( m \) để \( A \cap B = \emptyset \)

1. Tập hợp \( B = [m - 4; 2m + 3] \).
2. Để hai tập không có phần giao nhau, ta cần:
- \( m - 4 > 6 \) hoặc \( 2m + 3 < -1 \).

Giải từng bất phương trình để tìm giá trị của m.

- Từ \( m - 4 > 6 \):
\[
m > 10
\]

- Từ \( 2m + 3 < -1 \):
\[
2m < -4 \implies m < -2
\]

Do đó, hai điều kiện này không thể xảy ra đồng thời, dẫn đến không tồn tại giá trị của m thỏa mãn \( A \cap B = \emptyset \).

Hy vọng bạn có thể áp dụng cách làm trên để giải quyết bài toán một cách chi tiết!