Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức:

Để chứng minh rằng \(xy + 1\) là một số chính phương với điều kiện \(x + y \neq 0\) và tiếp tục từ đẳng thức

\[
x^2 + y^2 + \left( \frac{xy + 1}{x + y} \right)^2 = 2,
\]

ta sẽ xét từng phần của đẳng thức.

Đầu tiên, đặt \(s = x + y\) và \(p = xy\). Ta có \(x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2p\). Do đó, chúng ta có thể viết lại đẳng thức như sau:

\[
s^2 - 2p + \left( \frac{p + 1}{s} \right)^2 = 2.
\]

Giải thích thông tin từ đẳng thức trên, ta có:

1. **Nhân cả hai bên với \(s^2\)** để loại bỏ phân số:

\[
s^4 - 2ps^2 + (p + 1)^2 = 2s^2.
\]

2. **Sắp xếp lại**:

\[
s^4 - (2p + 2)s^2 + (p^2 + 2p + 1) = 0.
\]

Hệ phương trình bậc 4 này cho phép ta giải bằng cách sử dụng nghiệm của nó với điều kiện \(D \geq 0\).

3. **Tính nghiệm**: T nghiệm của phương trình bậc 2 phải không âm:

\[
D = (2p + 2)^2 - 4(p^2 + 2p + 1).
\]

Đo đó:

\[
D = 4p^2 + 8p + 4 - 4p^2 - 8p - 4 = 0.
\]

Từ đây, ta có \(D = 0\), dẫn đến phương trình có nghiệm kép.

4. **Áp dụng điều này**:

Khi giải phương trình, ta có thể tìm được một mối liên hệ giữa \(p\) và \(s\) từ đó. Đặc biệt, nếu \(D = 0\) thì ta có thể xác định rằng:

\[
xy + 1 = k^2 \Rightarrow k^2 \text{ là số chính phương.}
\]

Cuối cùng, ta đi đến kết luận rằng \(xy + 1\) là số chính phương cho các số nguyên \(x, y\) thoả mãn điều kiện đưa ra, vì không có giá trị nào khác thỏa mãn trong phương trình đã cho.

Do đó, ta đã chứng minh thành công rằng \(xy + 1\) là một số chính phương.