Tìm điểm thỏa mãn điều kiện khoảng cách, chân đường cao, chân đường phản giác

Bài toán bạn đưa ra liên quan đến việc tìm điểm thỏa mãn các điều kiện về khoảng cách, chân đường cao và chân đường phản giác trong tam giác. Dưới đây là hướng dẫn cho từng câu:

### Câu 28
Cho ba điểm \( A(3; -4; 0) \), \( B(-1; 1; 3) \), và \( C(3; 1; 0) \). Tìm điểm \( M \) trên \( OX \) có hoành độ \( x_M \) sao cho \( AM = BC \).

1. Tính độ dài \( BC \):
\[
BC = \sqrt{(C_x - B_x)^2 + (C_y - B_y)^2 + (C_z - B_z)^2} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 3)^2}
\]

2. Gọi \( M(x_M; 0; 0) \), tính khoảng cách \( AM \):
\[
AM = \sqrt{(x_M - A_x)^2 + (0 - A_y)^2 + (0 - A_z)^2}
\]
Đặt \( AM = BC \) và giải phương trình để tìm \( x_M \).

---

### Câu 29
Cho tam giác \( ABC \) có \( A(0; 0; 0) \), \( B(-1; -2; 0) \), \( C(2; 1; -1) \). Tìm tọa độ chân đường cao \( H \) hạ từ \( A \) xuống \( BC \).

1. Tính phương trình mặt phẳng chứa \( BC \).
2. Tìm tọa độ chân đường cao \( H \) bằng cách xác định giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( BC \) đi qua \( A \).

---

### Câu 30
Cho ba điểm \( A(2; -1; 3) \), \( B(4; 0; 1) \) và \( C(-10; 5; 3) \). Tìm đường phân giác trong của góc \( B \) của tam giác \( ABC \).

1. Tính các vectơ \( AB \) và \( BC \).
2. Tính tỉ lệ của các độ dài để xác định phương hướng của đường phân giác và áp dụng định lý phân giác để tìm tọa độ.

---

### Câu 31
Cho ba điểm \( A(1; 1; 1) \), \( B(-1; 1; 0) \) và \( C(3; 1; -1) \). Gọi \( M (\alpha; b; c) \) là điểm thuộc mặt phẳng \( (Oz) \) và cách đều ba điểm \( A, B, C \).

1. Thiết lập các phương trình khoảng cách giữa \( M \) và các điểm \( A, B, C \).
2. Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ \( M \).

---

Hy vọng hướng dẫn này có thể giúp bạn giải quyết bài tập! Nếu cần thêm chi tiết cho từng bước, hãy cho tôi biết.