Để giải bài toán về tam giác vuông ABC và các điểm D, E như đề bài đã nêu, ta tiến hành theo từng phần:

a) **Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?**

Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Giải thích như sau:
- Do M là điểm trên cạnh huyền BC, nên đoạn MD vuông góc với AB và đoạn ME vuông góc với AC.
- Vì AD và AE là hai cạnh của tứ giác ADME, trong đó AD vuông góc với MD và AE vuông góc với ME, nên góc DME là 90°.
- Hơn nữa, vì AD và AE đều vuông góc với các cạnh huyền nên có thể kết luận được tứ giác ADME có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó ADME là một hình chữ nhật.

b) **Lấy điểm I sao cho A là trung điểm của ID; điểm K sao cho M là trung điểm của EK. Chứng minh EI = DK và EI || DK.**

1. **Chứng minh EI = DK:**
- Vì A là trung điểm của ID, nên \( AI = AD \).
- M lại là trung điểm của EK, nên \( EK = EM \).
- Ta có tam giác ADE có chân đường vuông góc, \( AD = AE \) (chứng minh từ tứ giác ADME là hình chữ nhật).
- Do đó, \( EI = AI \) và \( DK = EM \). Từ đó kết luận \( EI = DK \).

2. **Chứng minh EI || DK:**
- Từ việc đã chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, hai cạnh AD và AE song song với nhau.
- Lại có AI và EM lần lượt vuông góc với các cạnh tương ứng tại điểm M và D, do đó EI || DK theo quy tắc góc vuông của hình chữ nhật.

Tóm lại, EI = DK và EI || DK do các thuộc tính của hình chữ nhật và các điểm được xác định theo điều kiện của bài toán.