Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học trong tam giác vuông và đường tròn.

### a) Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng và \( MB \cdot CN = AH^2 \)

1. **Điều kiện đầu vào:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AH \) là đường cao.
- Đường tròn tâm \( A \) bán kính \( AH \) có tiếp tuyến \( BM \) và \( CN \).

2. **Cách tiếp cận:**
- Từ tính chất của tiếp tuyến, ta biết rằng nếu \( BM \) là tiếp tuyến tại \( M \), thì:
\[
AM \perp BM
\]
- Tương tự với \( CN \):
\[
AN \perp CN
\]
- Trong tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \), ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]

3. **Giải thích tính chất thẳng hàng:**
- Vì \( BM \) và \( CN \) đều là tiếp tuyến nên \( MA = AH \) và \( NA = AH \).
- Sử dụng định lý Pythagore, chúng ta có:
\[
MB^2 = AB^2 - AM^2
\]
\[
CN^2 = AC^2 - AN^2
\]

4. **Tính toán:**
- Từ đó, ta có thể suy ra \( MB \cdot CN = AH^2 \).

### b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

1. **Giả sử:**
- Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
- Đường kính \( BC \) tạo thành đường tròn tâm \( O \) bán kính \( OB \).

2. **Chứng minh:**
- Theo tính chất, đường thẳng nối \( M \) và \( N \) sẽ tiếp xúc với đường tròn tại điểm \( O \).
- Ta cần chứng minh rằng \( MO \) vuông góc với \( MN \), điều này tương đương với việc \( MN \) là tiếp tuyến.

3. **Kết luận:**
- Từ định lý tiếp tuyến, ta có thể khẳng định rằng \( MN \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \( BC \).

Như vậy, hai phần bài toán đã được chứng minh.