Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng EC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

**Giải:**

1. **Xác định các điểm:**
- Đặt \( O \) là tâm của đường tròn (O), \( A \) và \( B \) là hai điểm nằm trên đường tròn sao cho \( OA = OB = R \).
- \( M \) là trung điểm của \( OA \), nên \( AM = \frac{R}{2} \).
- Hãy xét dây cung \( CD \) vuông góc với \( OA \) tại \( M \).

2. **Tính chất vuông góc:**
- Vì \( CD \) vuông góc với \( OA \) tại \( M \), nên góc \( OMC = 90^\circ \).

3. **Hệ quả từ tính chất vuông góc:**
- Theo tính chất hình học, \( OC \perp EC \) (với \( E \) là điểm nằm trên tia đối của tia \( AB \), có \( AE = R \)).
- Vậy \( OC \) vuông góc với \( EC \).

4. **Vậy EC là tiếp tuyến:**
- Theo định nghĩa của tiếp tuyến, nếu đường nối từ tâm của đường tròn đến một điểm trên tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến đó, thì đó chính là tiếp tuyến.
- Do đó, \( EC \) là tiếp tuyến của đường tròn (O).

### b) Tính độ dài đoạn EC theo R.

**Giải:**

1. **Xác định độ dài \( EC \):**
- Theo định nghĩa về tiếp tuyến: Nếu một đoạn thẳng nối từ một điểm ngoài đường tròn đến một điểm trên đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
- Ta có đường thẳng \( OE \) là một đường thẳng nối từ \( O \) tới \( E \).
- Với \( AE = R \), ta có \( OE = OA + AE = R + R = 2R \).

2. **Sử dụng định lý Pythagore:**
- Từ tam giác vuông \( OMC \) (có \( OM \) với độ dài \( \frac{R}{2} \) và \( OC = R \)), ta có:
\[
OC^2 = OM^2 + EC^2 \implies R^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 + EC^2.
\]
- Tính ra:
\[
R^2 = \frac{R^2}{4} + EC^2 \implies EC^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}.
\]
- Vậy:
\[
EC = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}.
\]

### Kết luận:
- a) EC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- b) Độ dài đoạn EC theo R là \( EC = \frac{R\sqrt{3}}{2} \).