Để giải bài toán này, cần phân tích các giả thuyết và chứng minh các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và các tam giác.

### Bài 11:
**Giả thuyết:** Trong hình có các đoạn thẳng bằng nhau, và các tam giác bằng nhau.

**Chứng minh:**
1. Nếu các đoạn thẳng \( AB = CD \) và \( AD = BC \), thì ta có thể sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng hoặc tam giác bằng nhau.
2. Xét hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle CDB \):
- \( AB = CD \)
- \( AD = BC \)
- \( BD \) là cạnh chung.
3. Từ đó, suy ra \( \triangle ABD \cong \triangle CDB \) (theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh).

Do hai tam giác bằng nhau nên suy ra \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

### Bài 12:
**Giả thuyết:** Trong hình có \( AB = CD \), \( AD = BC \).

**Chứng minh:**
1. Sử dụng kết quả của bài 11, từ việc chứng minh các tam giác bằng nhau, ta có thể suy ra \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

### Bài 13:
**Giả thuyết:** Trong hình có \( AD = BC \) và \( AC = BD \).

**Chứng minh:**
1. Tương tự, dựa vào các đoạn thẳng bằng nhau và tính chất của tứ giác hoặc tam giác, ta có thể sử dụng tiêu chí đồng dạng hoặc bằng nhau của các tam giác để chứng minh rằng \( AB \parallel CD \).

Kết luận, để chứng minh các mối quan hệ này, cần dựa trên các tính chất của hình học Euclid và kết hợp giữa các đoạn thẳng bằng nhau với các tam giác bằng nhau.